今天，我會(huì)教大家用偵探的思維方式學(xué)習(xí)貝葉斯公式，并在此思維方式的基礎(chǔ)上為大家總結(jié)貝葉斯公式考題的標(biāo)準(zhǔn)解題流程，只要大家掌握了套路，并適當(dāng)練習(xí)，以后再也不用擔(dān)心貝葉斯公式了，哦耶！

首先，大家把自己想象成一名思維縝密的偵探，現(xiàn)在有一個(gè)棘手的案子：

破案的關(guān)鍵點(diǎn)是確定30年前的某一天是下雨天的概率，這一天就是案發(fā)時(shí)間，只要當(dāng)天下雨的概率大于等于75%，就能進(jìn)一步縮小排查范圍，甚至鎖定犯罪嫌疑人。

現(xiàn)在的最困擾的問題是，30年前的信息記錄并不像現(xiàn)在這么完善，30年前該地區(qū)的每天的天氣情況現(xiàn)在找不到直接的線索，走訪了氣象局等部門后，能得到的信息只是當(dāng)年降雨的天數(shù)占比為40%，也就是說當(dāng)年任意一天是下雨天的概率是40%，但這個(gè)概率只是泛泛而談，如果沒有更加精準(zhǔn)的分析，調(diào)查就會(huì)被迫中止，難道真的要看兇手逍遙法外么？

就在一籌莫展之際，一位學(xué)校小超市的老板娘提供了一絲線索：在下雨天的情況下該超市雨傘當(dāng)日售罄的概率是80%，在不下雨的情況下該超市雨傘當(dāng)日售罄的概率是10%，這組概率三十年來一直保持穩(wěn)定。

翻開已經(jīng)泛黃但字跡依然清晰可辨的超市30年前的進(jìn)貨記錄登記表，可以發(fā)現(xiàn)上面記錄著案發(fā)當(dāng)天的雨傘是售罄的。偵探目前拿起紙筆，打算根據(jù)這條最新線索，重新評(píng)估一下案發(fā)當(dāng)天是下雨天的概率。

偵探的內(nèi)心OS:

在沒有這位老板娘提供的最新信息的情況下，當(dāng)天是下雨天的概率（先驗(yàn)概率）為40%，現(xiàn)在的新信息告訴我，當(dāng)天雨傘是售罄的，雨傘售罄這件事在下雨天發(fā)生的可能性要比在不是下雨天的時(shí)候發(fā)生的可能性大很多，因此根據(jù)新信息調(diào)整更新后的當(dāng)天是下雨天的概率（后驗(yàn)概率）肯定會(huì)顯著的大于40%，但具體等于多少需要用一下貝葉斯公式。

哈哈，柳暗花明又一村，看到了破案的希望！

為了方便標(biāo)識(shí)和套公式，把該地區(qū)下雨記為事件A, 把該超市的雨傘售罄記為事件B。現(xiàn)在已知的信息為：當(dāng)年該地區(qū)下雨的概率為40%, 即P(A)=40%。下雨的情況下該超市雨傘售罄的概率為80%，即P(B|A)=80%。不下雨的情況下該超市雨傘售罄的概率為10%，即P(B|A^C)=10% （A^C讀作complement of A，表示A事件的反面，即不下雨）。

我們現(xiàn)在要求的是P(A|B)，根據(jù)貝葉斯公式：P(A|B)=P(A)×P(B|A)/P(B)，貝葉斯公式的本質(zhì)就是根據(jù)新信息對(duì)先驗(yàn)概率進(jìn)行更新調(diào)整。到底怎么調(diào)整，調(diào)整幅度是多少，就看P(B|A)/P(B)這個(gè)調(diào)整因子有多大了。

其中P(B|A)是已知條件，而P(B)需要用全概率法則求出，該超市雨傘售罄可以分為兩種情況，在下雨天售罄和在不是下雨天的時(shí)候售罄，而下雨和不下雨的概率分別為40%和60%，因此：

顯然，84.21%大于進(jìn)一步縮小排查范圍需要的最低概率，75%。也是就是說，偵探利用貝葉斯公式在查案上取得了重大突破！

回顧該案件，在運(yùn)用貝葉斯公式的時(shí)候，之所以根據(jù)新信息更新后的后驗(yàn)概率比先驗(yàn)概率大很多，是因?yàn)檎{(diào)整因子足夠大:P(B|A)/P(B)=80% /38% ≈2.1

貝葉斯公式解題標(biāo)準(zhǔn)操作流程

一般需要使用貝葉斯公式的題目問的問題從形式上看肯定是一個(gè)條件概率，題中的已知信息會(huì)告知一組條件概率，但看著都有點(diǎn)蹩腳，因?yàn)橐阎倪@組條件概率跟問題問的角度是岔開的。遇到需要使用貝葉斯公式解題的題目時(shí)，按照以下四步走：

①根據(jù)問的問題定義出A事件和B事件。

由于最終貝葉斯公式計(jì)算出的是B事件發(fā)生的情況下A事件發(fā)生的概率，即P(A|Β)，因此要把題目中的新信息（剛發(fā)布的消息/剛剛發(fā)生的事情/剛得到的線索等）定義為B事件，在剛才這個(gè)案件中，就是該超市雨傘售罄。另外，把題目中已經(jīng)告知先驗(yàn)概率、現(xiàn)在需要求后驗(yàn)概率的對(duì)應(yīng)的事件定義為A事件，在剛才這個(gè)案件中，就是該地區(qū)下雨。

②找出A事件發(fā)生的先驗(yàn)概率，并寫下來。

這個(gè)概率是后續(xù)做調(diào)整更新的對(duì)象，把這個(gè)概率找對(duì)非常重要。

③計(jì)算調(diào)整因子P(B|A)/P(B)。

需要注意的是分子P(B|A) 一般題目中會(huì)直接給出，而分母P(B)一般需要使用全概率法則計(jì)算，全概率法則的本質(zhì)是先分類討論然后再按照每種情況發(fā)生的概率加權(quán)平均對(duì)應(yīng)的條件概率。

④套用貝葉斯公式，P(A|B)=P(A)×P(B|A)/P(B),把第②步和第③步得到的結(jié)果相乘就得到了最終的答案。

以上四步就是貝葉斯公式問題的標(biāo)準(zhǔn)解題流程。如果大家計(jì)算完了之后，想再略微核對(duì)一下中間的計(jì)算步驟有沒有出現(xiàn)明顯錯(cuò)誤，一個(gè)可行的辦法是看一下這道貝葉斯公式題目中，新信息B事件是在A事件發(fā)生的時(shí)候發(fā)生的概率更大，還是在A事件不發(fā)生的時(shí)候發(fā)生的概率更大。

如果是前者（新信息B事件在A事件發(fā)生時(shí)發(fā)生的概率更大），那最終得到的后驗(yàn)概率P(A|B)一定會(huì)大于先驗(yàn)概率P(A)。

如果是后者（新信息B事件在A事件不發(fā)生時(shí)發(fā)生的概率更大），那最終得到的后驗(yàn)概率P(A|B)一定會(huì)小于先驗(yàn)概率P(A)。

如果違反了這樣的經(jīng)驗(yàn)法則，那肯定是在某個(gè)步驟中不小心數(shù)字代錯(cuò)了。例如在上述案件中，如果最終算出的P(A|B)等于35%，那肯定是算錯(cuò)了，因?yàn)橄闰?yàn)概率P(A)就有40%，而事件A發(fā)生的前提下B事件發(fā)生的概率要比A沒有發(fā)生時(shí)B事件發(fā)生的概率更大（下雨天該超市雨傘售罄的概率為80%，不下雨的情況下該超市雨傘售罄的概率只有10%），因此P(A|B)不可能小于40%。